Puesto que no hay un número que sea mayor que todos los demás, decimos que el conjunto de los números naturales es infinito, o que hay infinitos números naturales. El concepto de infinitud ha sido, durante mucho tiempo (y sigue siendo en la actualidad) fuente continua de paradojas que han desconcertado a matemáticos y filósofos por igual.
Una de las más célebres es la que intrigó a Galileo Galilei, ese genial astrónomo y matemático, padre de la ciencia moderna.
Para entender la paradoja debemos plantearnos previamente la siguiente cuestión: ¿cómo sabemos que un conjunto tiene igual número de elementos que otro? Encontrando una forma de relacionar uno a uno los elementos de ambos conjuntos, de tal manera que a todos y cada uno de los elementos de un conjunto les podamos asociar uno (y sólo uno) del otro conjunto, hasta agotarlos todos. Es decir, en terminología matemática, que podamos establecer una aplicación biyectiva entre los elementos de ambos conjuntos.
Así, por ejemplo, decimos que el conjunto {piedra, mano, tijera} tiene idéntico número de elementos (matemáticamente, el mismo cardinal) que el conjunto {círculo, cuadrado, triángulo}, puesto que podemos definir una aplicación biyectiva entre ambos: Por ejemplo, piedra-círculo, mano-cuadrado, tijera-triángulo.
Es obvio que cualquier subconjunto propio de un conjunto finito ("propio" significa diferente a) tiene un cardinal (número de elementos) necesariamente inferior al del conjunto completo. Por ejemplo, {piedra, tijera} tiene un cardinal 2, mientras que {piedra, mano, tijera} lo tiene 3.
Ahora bien, ¿qué sucede con los conjuntos infinitos? Pues bien, Galileo se dio cuenta que de todos los números naturales (1, 2, 3, ...), algunos tienen la propiedad de ser un cuadrado perfecto (1, 4, 9,...) mientras que otros no lo son. Por ello, el conjunto de todos los números naturales, incluyendo tanto a los cuadrados como a los no cuadrados, debería ser mayor que el conjunto de los cuadrados. Sin embargo, por cada cuadrado hay exactamente un número natural que es su raíz cuadrada, y por cada número natural hay exactamente un cuadrado. Así pues, no puede haber más de un tipo que de otro.
Una de las más célebres es la que intrigó a Galileo Galilei, ese genial astrónomo y matemático, padre de la ciencia moderna.
Para entender la paradoja debemos plantearnos previamente la siguiente cuestión: ¿cómo sabemos que un conjunto tiene igual número de elementos que otro? Encontrando una forma de relacionar uno a uno los elementos de ambos conjuntos, de tal manera que a todos y cada uno de los elementos de un conjunto les podamos asociar uno (y sólo uno) del otro conjunto, hasta agotarlos todos. Es decir, en terminología matemática, que podamos establecer una aplicación biyectiva entre los elementos de ambos conjuntos.
Así, por ejemplo, decimos que el conjunto {piedra, mano, tijera} tiene idéntico número de elementos (matemáticamente, el mismo cardinal) que el conjunto {círculo, cuadrado, triángulo}, puesto que podemos definir una aplicación biyectiva entre ambos: Por ejemplo, piedra-círculo, mano-cuadrado, tijera-triángulo.
Es obvio que cualquier subconjunto propio de un conjunto finito ("propio" significa diferente a) tiene un cardinal (número de elementos) necesariamente inferior al del conjunto completo. Por ejemplo, {piedra, tijera} tiene un cardinal 2, mientras que {piedra, mano, tijera} lo tiene 3.
Ahora bien, ¿qué sucede con los conjuntos infinitos? Pues bien, Galileo se dio cuenta que de todos los números naturales (1, 2, 3, ...), algunos tienen la propiedad de ser un cuadrado perfecto (1, 4, 9,...) mientras que otros no lo son. Por ello, el conjunto de todos los números naturales, incluyendo tanto a los cuadrados como a los no cuadrados, debería ser mayor que el conjunto de los cuadrados. Sin embargo, por cada cuadrado hay exactamente un número natural que es su raíz cuadrada, y por cada número natural hay exactamente un cuadrado. Así pues, no puede haber más de un tipo que de otro.
interesante, esto se cumpliria(el hecho de decir que el cunjunto de los numeros enteros es mas grande que el conjunto de los numeros con raiz cuadrada exacta) si los dos conjuntos tuvieran fin, pero no porque son conjuntos abiertos.
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