Paradojas sobre el infinito (VIII)

Aquí estamos de nuevo con el infinito a cuestas. Hasta ahora conocemos dos “variedades” de infinito: el numerable y el infinito del continuo. Ahora bien, ¿hay más?

Paradojas sobre el infinito (VII)

Vamos a tratar de indagar un poco más en la intrincada y sorprendente naturaleza del infinito siguiendo las huellas de Cantor.

Para ello, partimos del intervalo* de la recta real [0,1]. Dividimos este segmento en tres partes iguales y quitamos la central, es decir el intervalo (1/3, 2/3). Cada uno de los dos intervalos que quedan, el [0,1/3] y el [2/3,1], lo volvemos a subdividir en tres partes iguales, y nuevamente suprimimos los del medio. Y así sucesivamente, ad infinitum. ¿Me siguen? Bueno, pues lo que queda después de infinitas iteraciones es el famoso fractal denominado Conjunto de Cantor.

En la imagen superior pueden ver las 4 primeras etapas del proceso.

Paradojas sobre el infinito (VI)

Sigamos investigando el fascinante mundo de los conjuntos infinitos. El lector que haya tenido la paciencia de seguir los anteriores capítulos, habrá visto que el conjunto de los números reales es no numerable, y a su cardinal es lo que Cantor denominó cardinal del continuo.

La siguiente pregunta que surge de forma natural es la siguiente: si el cardinal de los puntos de la recta real es el cardinal del continuo, ¿cuál será el de los puntos del plano? Intuitivamente parece claro que el plano contiene muchísimos más puntos que la recta. De hecho, en un plano cualquiera pueden dibujarse infinitas rectas.

Paradojas sobre el infinito (V)

En la última entrega sobre el infinito hemos visto cómo Cantor llegó al descubrimiento de que el conjunto de los números irracionales era no numerable, en contraposición con el de los racionales, que sí lo era.

¿Qué implicaciones tiene esto? Supongamos que dibujamos todos los números reales en una recta ordenada, de tal forma que a cada punto de la misma le corresponda un número real y sólo uno. Podemos emplear, por ejemplo, puntos azules para los números racionales y rojos para los irracionales*.

Paradojas sobre el infinito (IV)

En anteriores capítulos de la saga sobre el infinito hemos visto que conjuntos aparentemente tan dispares como el de los números naturales, el de los naturales pares, el de los primos, el de los enteros... incluso el de los racionales tienen todos ellos el mismo cardinal (designado por Cantor con el número transfinito aleph sub cero).

Surge, pues, la siguiente pregunta: ¿son todos los conjuntos infinitos, infinitos numerables (es decir tienen todos cardinal igual a aleph sub cero)?

Paradojas sobre el infinito (III)

Llegamos en esta tercera entrega sobre el infinito, a la cuestión del "tamaño" de los números racionales, es decir, aquellos que son el cociente de dos números enteros, por ejemplo 1/2, 2/5, etc.

Está claro que el conjunto de los números racionales es, al menos, tan grande como el de los naturales, ya que cualquier número natural se puede escribir como fracción de denominador uno.

Paradojas sobre el infinito (II)

Ya hemos hablado en el primer capítulo sobre el infinito de la paradoja de Galileo, según la cual hay tantos números naturales como cuadrados perfectos. Lo mismo puede decirse de los números pares e impares: hay tantos como números naturales. En efecto, por cada número par hay un número natural (y sólo uno) que es su mitad, y para cada número natural hay un número par (y sólo uno) que es su doble. Y obviamente, hay tantos pares como impares, puesto que el conjunto de los impares es igual al de los pares restándole una unidad a cada elemento.

Paradojas sobre el infinito (I)

Puesto que no hay un número que sea mayor que todos los demás, decimos que el conjunto de los números naturales es infinito, o que hay infinitos números naturales. El concepto de infinitud ha sido, durante mucho tiempo (y sigue siendo en la actualidad) fuente continua de paradojas que han desconcertado a matemáticos y filósofos por igual.

Una de piratas

Sí. Estos son los del Caribe, pero para nuestro gobierno, los de la foto podríamos ser usted y yo.

¿Han oído hablar de la llamada presunción de inocencia en un estado de derecho? Bueno, pues sepan que ya está desfasada. Ahora lo que se lleva es la presunción de culpabilidad. Al menos si nos atenemos a la Ley de la Propiedad Intelectual (LPI) que está elaborando el gobierno relativa al llamado canon digital.

De viaje

A ver, hagan sus maletas, preparen sus pasaportes. Nos vamos a Llanfairpwllgwyngyllgogerychwyrndrobwllllantysiliogogogoch. No, no es que se me haya caído el mando a distancia sobre el teclado. Si no me creen, echen un vistazo al interminable cartel de entrada a este pintoresco pueblecito de la isla de Anglesey (Gales). Se trata, al parecer, del topónimo más largo del Reino Unido y el tercero más largo del mundo (no me pregunten cuáles son los dos primeros). Sin embargo, su dominio de internet es el más largo de entre los dominios .com de una sola palabra sin guiones (63 letras).

El Hamilton más precoz

No. No es que nos hayamos equivocado al "subir" la imagen. El personaje al que hace referencia el título no es el archifamoso rival de Fernando Alonso (Lewis Carl Hamilton), sino el genial matemático y físico Sir Rowan William Hamilton (1805-1865).

Si piensan que el título es una simple añagaza para captar su atención, esperen a leer un poco más sobre este fascinante individuo.