Paradojas sobre el infinito (IX)

Vamos a profundizar un poquito más en el curioso mundo de los números transfinitos. Hasta ahora hemos hablado de aleph sub cero (el cardinal de los infinitos numerables), el cardinal del continuo (que se suele representar por la letra c), y los infinitos números transfinitos representados por la letra hebrea beth.

Paradojas sobre el infinito (VIII)

Aquí estamos de nuevo con el infinito a cuestas. Hasta ahora conocemos dos “variedades” de infinito: el numerable y el infinito del continuo. Ahora bien, ¿hay más?

Paradojas sobre el infinito (VII)

Vamos a tratar de indagar un poco más en la intrincada y sorprendente naturaleza del infinito siguiendo las huellas de Cantor.

Para ello, partimos del intervalo* de la recta real [0,1]. Dividimos este segmento en tres partes iguales y quitamos la central, es decir el intervalo (1/3, 2/3). Cada uno de los dos intervalos que quedan, el [0,1/3] y el [2/3,1], lo volvemos a subdividir en tres partes iguales, y nuevamente suprimimos los del medio. Y así sucesivamente, ad infinitum. ¿Me siguen? Bueno, pues lo que queda después de infinitas iteraciones es el famoso fractal denominado Conjunto de Cantor.

En la imagen superior pueden ver las 4 primeras etapas del proceso.

Paradojas sobre el infinito (VI)

Sigamos investigando el fascinante mundo de los conjuntos infinitos. El lector que haya tenido la paciencia de seguir los anteriores capítulos, habrá visto que el conjunto de los números reales es no numerable, y a su cardinal es lo que Cantor denominó cardinal del continuo.

La siguiente pregunta que surge de forma natural es la siguiente: si el cardinal de los puntos de la recta real es el cardinal del continuo, ¿cuál será el de los puntos del plano? Intuitivamente parece claro que el plano contiene muchísimos más puntos que la recta. De hecho, en un plano cualquiera pueden dibujarse infinitas rectas.

Paradojas sobre el infinito (V)

En la última entrega sobre el infinito hemos visto cómo Cantor llegó al descubrimiento de que el conjunto de los números irracionales era no numerable, en contraposición con el de los racionales, que sí lo era.

¿Qué implicaciones tiene esto? Supongamos que dibujamos todos los números reales en una recta ordenada, de tal forma que a cada punto de la misma le corresponda un número real y sólo uno. Podemos emplear, por ejemplo, puntos azules para los números racionales y rojos para los irracionales*.

Paradojas sobre el infinito (IV)

En anteriores capítulos de la saga sobre el infinito hemos visto que conjuntos aparentemente tan dispares como el de los números naturales, el de los naturales pares, el de los primos, el de los enteros... incluso el de los racionales tienen todos ellos el mismo cardinal (designado por Cantor con el número transfinito aleph sub cero).

Surge, pues, la siguiente pregunta: ¿son todos los conjuntos infinitos, infinitos numerables (es decir tienen todos cardinal igual a aleph sub cero)?

Paradojas sobre el infinito (III)

Llegamos en esta tercera entrega sobre el infinito, a la cuestión del "tamaño" de los números racionales, es decir, aquellos que son el cociente de dos números enteros, por ejemplo 1/2, 2/5, etc.

Está claro que el conjunto de los números racionales es, al menos, tan grande como el de los naturales, ya que cualquier número natural se puede escribir como fracción de denominador uno.